Bài tập ôn tập chương 1 giải tích 12 – Khảo sát hàm số và bài toán liên quan

Giới thiệu 15 bài tập ôn tập chương 1 giải tích 12 – Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan. Đây là các bài tập tổng hợp về khảo sát hàm số, viết phương trình tiếp tuyến, bài toán đơn điệu, cực trị và các bài toán tương giao đồ thị hàm số. Các bạn có thể tải về file PDF bằng cách click vào nút download ở cuối bài.

Xem thêm:

1. Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2. Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp
3. Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao
4. Bài toán tương giao đồ thị hàm số

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1 – GIẢI TÍCH 12

Câu 1: Cho hàm số $$y = (x + 1)({x^2} + 2mx + m + 2)\quad (1)$$

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
3. Định m để hàm số đồng biến trên R.

Câu 2: Cho hàm số $$y = \dfrac{{x + 1}}{{x – 1}}$$ có đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ (C).
2. Tìm những điểm nằm trên đồ thị (C) có tọa độ là các số nguyên.
3. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai tiệm cận của nó luôn luôn là một hằng số.
4. Tìm những điểm trên (C) sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Câu 3: Cho hàm số $$y = {x^4} – 2(m + 1){x^2} + 2m + 1\;({C_m})$$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên khi m = 0.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $${x^4} – 2{x^2} + m – 1 = 0$$.
3. Định m để (C_m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Câu 4: Cho hàm số $$y = {x^4} – (m + 1){x^2} + m\;({C_m})$$.

1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại $${x_0} = 0$$.
2. Tìm các giá trị của m để (C_m) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Câu 5: Cho hàm số $$y = \dfrac{{2x – 1}}{{x + 1}}$$ có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(-2;2) và có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C).

Câu 6: Tìm m để đường thẳng $$(d):y = mx + m – 1$$ cắt $$(C):y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 1}}$$ tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).

Câu 7: Cho hàm số $$y = {x^3} – 3{x^2} + 3mx + 3m + 4\;({C_m})$$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Gọi đồ thị là (C).
2. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;7) và tiếp xúc với (C).
3. Xác định các giá trị m để (C_m) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Câu 8: Cho hàm số $$y = f(x) = {x^3} + 3{x^2}$$.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2. Khi đường thẳng $$(\Delta ):y = mx$$ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O(0;0), A, B. Tìm m để $$\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = – 30.$$
3. Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) đi qua điểm A(-3;0).

Câu 9: Cho hàm số $$y = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\;(C).$$

1. Khảo sát hàm số trên.
2. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình $${x^2} – mx + 3 – m = 0$$ và suy ra các giá trị của m để cho phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
3. Định k để đường thẳng $$(d):y = k(x – 3) + 2$$ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng -3

Câu 10: Cho hàm số $$y = 2x{(3 – 2x)^2} + 5$$ có đồ thị (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua giao điểm A của (C) và trục tung.
3. Định m để phương trình $$8{x^3} – 24{x^2} + 18x – 3m = 0$$ có ba nghiệm phân biệt.

Câu 11: Cho hàm số $$y = – 2{x^4} + 4{x^2} – 1$$.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để phương trình $${x^4} – 2{x^2} – m = 0$$ có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số đã cho trên [-1;3].

Câu 12: Cho hàm số $$y = {x^4} – 2(m – 1){x^2} + 1\;({C_m})$$

1. Định m để hàm số có ba cực trị.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = 3.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại.

Câu 13: Cho hàm số $$y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}}\;(C).$$

1. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
2. Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai tiệm cận là hằng số.
3. Chứng minh rằng $$(d):y = 2x + m$$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N.
4. Xác định m sao cho đoạn thăng MN có độ dài nhỏ nhất.

Câu 14: Cho hàm số $$y = {x^3} – 3x + 2\;(C)$$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
2. Chứng minh đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
3. Goi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là k. Tìm các giá trị của k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
4. Tìm m để phương trình $$ – \dfrac{1}{3}{x^3} + x + m – 1 = 0$$ có ba nghiệm phân biệt.

Câu 15: Cho hàm số $$y = f(x) = \dfrac{1}{4}{x^4} – 2{x^2}.$$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀, biết $$f({x_0}) =- 1$$.