Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Bài toán tìm cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong chương trình giải tích 12, các em học sinh cần nắm vững các phương pháp tìm cực trị của hàm số để áp dụng vào quá trình khảo sát sự biến thiên và giải các bài toán liên quan.

Xem thêm: Một số dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Bài toán cơ bản mà học sinh thường gặp là tìm cực trị của hàm số y = f(x). Có hai phương pháp để làm bài toán này:

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} – \dfrac{1}{2}{x^2} – 2x + 2$
Giải
Tập xác định: D = R
$y’ = {x^2} – x – 2$
$y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 2\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại ${y_{{\rm{CD}}}} = y\left( { – 1} \right) = \dfrac{{19}}{6}$
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu ${y_{CT}} = y\left( 2 \right) = \dfrac{{ – 4}}{3}$

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số $y = \dfrac{{x + 3}}{{2x – 1}}$

Giải

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}$

$y’ = \dfrac{{ – 7}}{{{{\left( {2x – 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D$

Vậy hàm số không có cực trị.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số: $y = \cos x + \dfrac{1}{2}c{\rm{os}}2x – 1$

Giải

Tập xác định: D = R

$y’ = – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} – \sin 2x$

$y’ = 0 \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(1 + 2\cos x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0\\\cos x = – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$

$y” = -\cos x – 2c{\rm{os}}2x$

Ta có: $y”(k\pi ) = -c{\rm{os}}(k\pi ) – 2c{\rm{os}}(k2\pi ) = \pm 1 – 2 < 0$

$ \Rightarrow $ Hàm số đạt cực đại tại $x = k\pi{\rm{}}(k \in {\rm Z})$

$y”\left( { \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = -c{\rm{os}}\left( { \pm \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) – 2\cos \left( { \pm \dfrac{{4\pi }}{3}} \right) = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} > 0$

$ \Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi{\rm{}}(k \in Z)$

Trên đây là hai phương pháp tìm cực trị của hàm số mà học sinh bắt buộc phải nắm vững. Vấn đề cực trị của hàm số còn có nhiều bài toán liên quan khác như tìm tham số m để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị, tìm m để hàm số có cực trị thõa điều kiện…Các bài toán này sẽ được đề cập trong bài viết sau.

Xem bài viết: Một số dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao