Lý thuyết hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số logarit

Nội dung bài viết này đề cập đến định nghĩa và các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit trong chương 2 giải tích 12.

I. Hàm lũy thừa:

1. Định nghĩa: Hàm số $y = {x^\alpha }$ với $\alpha  \in R$ được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ: các hàm số sau là hàm lũy thừa: $y = {x^3},y = {x^{\sqrt 2 }},y = {x^{ – 4}}$

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ phụ thuộc vào số mũ $\alpha $, cụ thể như sau:

• $D = R$ nếu $\alpha $ là số nguyên dương.
• $D = R\backslash \left\{ 0 \right\}$ với $\alpha $ nguyên âm hoặc bằng $0.$
• $D = (0; + \infty )$ với $\alpha $ không nguyên.

Ví dụ: tìm tập xác định của hàm số $y = {x^{\sqrt 2 }}$

Vì số mũ ${\sqrt 2 }$ là số không nguyên nên hàm số xác định khi $x > 0$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( {0; + \infty } \right)$

3. Đạo hàm: Hàm số $y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha  \in R)$ có đạo hàm với mọi $x > 0$ và $({x^\alpha })’ = \alpha .{x^{\alpha  – 1}}.$

Ví dụ: ${\left( {{x^{ – 4}}} \right)^\prime } = – 4{x^{ – 3}}$

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $(0; + \infty )$.

d. Đồ thị

Đồ thị của hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }$ luôn đi qua điểm $I(1;1).$
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: $y = {x^3},{\rm{ }}y = {x^{ – 2}},{\rm{ }}y = {x^\pi }.$

II. Hàm số mũ: $y = {a^x},{\rm{ }}(a > 0,a \ne 1).$

Ví dụ: các hàm số sau là hàm số mũ: $y = {2^x},y = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x}$

1. Tập xác định: Hàm số mũ xác định với mọi $x \in R$ nên tập xác định là $D = R$.

2. Tập giá trị:  Hàm số mũ luôn mang giá trị dương, hay tập giá trị của hàm số mũ là $T = (0, + \infty ),$.

3. Tính đơn điệu:

+  Khi $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến, khi đó ta luôn có:

${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x).$

+  Khi $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến, khi đó ta luôn có:

${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) < g(x).$

4. Đạo hàm:

$\begin{array}{l}({a^x})’ = {a^x}.\ln a \Rightarrow ({a^u})’ = u’.{a^u}.\ln a\\({e^x})’ = {e^x} \Rightarrow ({e^u})’ = {e^u}.u’\\(\sqrt[n]{u})’ = \dfrac{{u’}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}\end{array}$

5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

III. Hàm số logarit: $y = {\log _a}x,{\rm{ }}(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1)$

1. Tập xác định: $D = (0, + \infty ).$

2.Tập giá trị: $T = R$

3.Tính đơn điệu:

+  Khi $a > 1$ thì $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $D,$ khi đó nếu:

${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

+  Khi $0 < a < 1$ thì $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $D,$ khi đó nếu:

${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)$

4.Đạo hàm:

$\begin{array}{l}{\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{x.\ln a}} \Rightarrow {\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)^\prime } = \dfrac{{u’}}{{u.\ln a}}\\(\ln x)’ = \dfrac{1}{x},{\rm{ }}(x > 0) \Rightarrow (\ln \left| u \right|)’ = \dfrac{{u’}}{u}\\({\ln ^n}\left| u \right|)’ = n \cdot \dfrac{{u’}}{u} \cdot {\ln ^{n – 1}}\left| u \right|\end{array}$

5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.

Một số tài liệu chủ đề lũy thừa, mũ, logarit tham khảo:

1. 10 chủ đề về Mũ và Logarit – lý thuyết và phương pháp giải bài tập
2. 140 câu trắc nghiệm chương 2 giải tích 12 – lũy thừa, mũ, logarit