Lý thuyết số phức giải tích 12 (chương trình cơ bản)

Số phức là chương cuối cùng trong chương trình giải tích lớp 12. Nội dung chượng này trình bày những lý thuyết số phức cơ bản và công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực.

Việc mở rộng tập hợp số phức nhằm mục đích giải các bài toán mà không thể giải được trong tập hợp số thực. Chẳng hạn bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai có biệt thức delta âm. Khi ta xét phương trình ${x^2} = – 1$ trên tập số thực sẽ không có nghiệm, từ đó người ta đưa ra một số $i$ với tính chất đặc biệt là ${i^2} = – 1$, khi đó hai số $ \pm i$ sẽ là nghiệm của phương trình trên. Từ đó tập hợp số thực được mở rộng thành tập số phức với các phần tử có dạng $a+bi$, trong đó $a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1$.

Trong bài viết này ta sẽ tìm hiểu các lý thuyết số phức được đề cập trong chương trình giải tích lớp 12 cơ bản. Bài viết không đề cập đến dạng lượng giác của số phức và căn bậc hai của số phức.

I. Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan

1. Định nghĩa:

Mỗi số phức có dạng $a+bi$, trong đó $a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1$. Trong đó:

+ $a$  gọi là phần thực.

+ $b$  gọi là phần ảo.

+ $i$ gọi là đơn vị ảo.

• $z = a + 0i$  là số thực (phần ảo bằng 0).
• $z = 0 + bi$  là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
• Số $0 = 0 + 0i$  vừa là số thực vừa là số ảo.
• Tập hợp số phức ký hiệu là $\mathbb{C}.$
• Mọi số thực đều là số phức nên $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$

Ví dụ: Các số $3 + 2i, – 3 + \sqrt 2 i,\dfrac{2}{3} – \pi i…$ là các số phức.

Số $3i, – 2i,\sqrt 5 i…$ là các số thuần ảo.

2. Biểu diễn số phức

• Số phức $z=a+bi$  được biểu diễn bởi điểm $M\left( a;b \right)$  trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
• Các số thực có điểm biểu diễn nằm trên trục $Ox.$
• Các số thuần ảo có điểm biểu diễn nằm trên trục $Oy.$

Ví dụ: số phức $z = – 2 + 5i$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng $Oxy$ là $M\left( { – 2;5} \right)$.

3. Hai số phức bằng nhau: khi phần thực bằng phần thức và phần ảo bằng phần ảo.

$a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=c \\& b=d \\\end{align} \right.$.

Ví dụ: Tìm hai số thực $x,y$ để $\left( {x + 3} \right) + \left( {y – 1} \right)i = \left( {2x + y} \right) + xi$.

Để hai số phức trên bằng nhau thì: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 2x + y\\y – 1 = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x – y = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$

4. Môđun

Cho số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right).$ Độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$ gọi là modun của $z$ và ký hiệu là $\left| z \right|.$ Vậy:

$\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Ví dụ: $\left| {3 + 4i} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$

5. Số phức liên hợp và số phức đối

• Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi$ là số phức $\bar{z}=a-bi$.
• Số phức đối của số phức $z=a+bi$ là số phức $-z=-a-bi.$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}
z = – 3 + 5i \Leftrightarrow \bar z = – 3 – 5i\\
z = – 5i \Leftrightarrow \bar z = 5i\\
z = 2 \Leftrightarrow \bar z = 2
\end{array}$

II. Các phép toán trên tập số phức

1. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức:
Các phép toán: cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức và ${{i}^{2}}=-1.$

$\left( a+bi \right)+\left( c+di \right)=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$

$\left( a+bi \right)-\left( c+di \right)=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$

$\left( a+bi \right)\left( c+di \right)=\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}
\left( {2 + 3i} \right) + \left( {4 – 7i} \right) = \left( {2 + 4} \right) + \left( {3 – 7} \right)i = 6 – 4i\\
\left( {2 + 3i} \right) – \left( {4 – 7i} \right) = \left( {2 – 4} \right) + \left( {3 + 7} \right)i = – 2 + 10i\\
\left( {2 + 3i} \right)\left( {4 – 7i} \right) = 8 – 14i + 12i – 21{i^2} = 8 – 14i + 12i + 21 = 29 – 2i
\end{array}$

2. Phép chia hai số phức:

Để chia hai số phức, ta nhân cả tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

$\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{\left( c+di \right)\left( c-di \right)}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}$.

Ví dụ: $\dfrac{{2 + 3i}}{{4 + 7i}} = \dfrac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {4 – 7i} \right)}}{{\left( {4 + 7i} \right)\left( {4 – 7i} \right)}} = \dfrac{{29 – 2i}}{{{4^2} + {7^2}}} = \dfrac{{29}}{{65}} – \dfrac{2}{{65}}i$

3. Các tính chất của số phức liên hợp và modun:

• Các tính chất của số phức liên hợp:

1. $\bar{\bar{z}}=z$

2. $\overline{z+{z}’}=\bar{z}+\bar{{z}’}$

3. $\overline{z-{z}’}=\bar{z}-\bar{{z}’}$

4. $\overline{z.{z}’}=\bar{z}.\bar{{z}’}$

5. $\overline{\left( \dfrac{z}{{{z}’}} \right)}=\dfrac{{\bar{z}}}{{\bar{{z}’}}}$

• Các tính chất của môđun

1. $\left| z \right|\ge 0$ với mọi $z\in \mathbb{C},$ $\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0$

2. $\left| z \right|=\left| {\bar{z}} \right|$

3. $\left| z.{z}’ \right|=\left| z \right|.\left| {{z}’} \right|$

4. $\left| \dfrac{z}{{{z}’}} \right|=\dfrac{\left| z \right|}{\left| {{z}’} \right|}$

5. $\left| z+{z}’ \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}’} \right|$

6. $\left| z-{z}’ \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| {{z}’} \right| \right|$

III. Phương trình bậc hai

1. Căn bậc hai của số âm

• Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
• Số thực $a > 0$ có đúng hai căn bậc hai là : $\pm \sqrt{a}$
• Số thực $a<0$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt{\left| a \right|}$

Ví dụ: Số $ – 5$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 5 $

Số $ – 9$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 9 = \pm 3i$

2. Phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ $\left( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$.

• Nếu $\Delta =0$, phương trình có một nghiệm kép $z=-\dfrac{b}{2a}$.
• Nếu $\Delta \ne 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt :

${{z}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \delta }{2a}$,

trong đó $\delta $ là một căn bậc hai của $\Delta $.

Ví dụ: Giải phương trình ${x^2} + 2x + 10 = 0$

Ta có: $\Delta ‘ = – 9 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phức: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ – 1 \pm 3i}}{1} = – 1 \pm 3i$

Lưu ý: Định lý Vi-ét vẫn đúng cho phương trình bậc hai có hai nghiệm phức.

Xem thêm: Phương pháp giải phương trình số phức cơ bản và nâng cao