Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz. Đây là một trong những nội dung quan trọng cần phải nắm vững để có thể giải đước các bài toán hình học giải tích trong không gian.

Xem thêm: Phương trình mặt phẳng và một số bài tập cơ bản

Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, một đường thẳng được xác định khi biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương (VTCP). Giả sử đường thẳng d đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ thì d sẽ có phương trình dạng tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Trong trường hợp các tọa độ của vectơ chỉ phương đều khác không $\left( {a,b,c \ne 0} \right)$ thì d còn có phương trình được viết ở dạng chính tắc là:

$\dfrac{{x – {x_0}}}{a} = \dfrac{{y – {y_0}}}{b} = \dfrac{{z – {z_0}}}{c}$

Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian giống với trong mặt phẳng: vectơ $\overrightarrow u $ khác vectơ-không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d.

Một số chú ý

1. Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d, ta sẽ tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với d. Hoặc ta sẽ tìm hai vectơ có giá vuông góc với d rồi lấy tích có hướng thì sẽ được vectơ chỉ phương.
2. Khi phương trình đường thẳng d được viết ở dạng tham số, muốn lấy tọa độ một điểm tùy ý thuộc d, ta chỉ cần cho tham số t một giá trị bất kỳ rồi thế vào để tính x, y, z.

Một số ví dụ về phương trình đường thẳng

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {1;2; – 3} \right)$ và song song với giá của vectơ $\overrightarrow u = \left( { – 1;3;5} \right)$.

Giải

Vì d song song với giá của vectơ $\overrightarrow u $ nên d nhận $\overrightarrow u $ làm vectơ chỉ phương.

d đi qua điểm  $A\left( {1;2; – 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { – 1;3;5} \right)$ nên có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – t\\y = 2 + 3t\\z = – 3 + 5t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm $M\left( {1;4; 0} \right)$, $N\left( {-2;4; 5} \right)$.

Giải

$\overrightarrow MN = \left( { – 3;0;5} \right)$

Vì d đi qua hai điểm M và N nên vectơ $\overrightarrow {MN} $ có giá trùng với d $ \Rightarrow \overrightarrow {MN} $ là vectơ chỉ phương của d.

d đi qua điểm $M\left( {1;4; 0} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow MN = \left( { – 3;0;5} \right)$ nên có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 3t\\y = 4\\z = 5t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d có phương trình: $\dfrac{{x – 2}}{3} = \dfrac{y}{{ – 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}$. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM vuông góc với d (với O là góc tọa độ).

Giải

Từ phương trình tham số của d, ta thấy d đi qua điểm $M\left( {2;0; – 1} \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3; – 1;2} \right)$ nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = -t\\z = -1+2t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Vì $M \in d \Rightarrow M\left( {2 + 3t; – t; – 1 + 2t} \right)$.

$ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {2 + 3t; – t; – 1 + 2t} \right)$

Vì $OM \bot d \Rightarrow \overrightarrow {OM} \bot \overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow u = 0$

$ \Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) + t + 2\left( { – 1 + 2t} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 14t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{-2}{7}$

Vậy $M\left( {\dfrac{8}{7};\dfrac{2}{7}; – \dfrac{{11}}{7}} \right)$