Sử dụng chiều biến thiên hàm số để chứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN

Trong bài viết trước, ta đã biết hai phương pháp cơ bản để tìm GTLN và GTNN của hàm số một biến. Trong bài này, ta sẽ tìm hiểu phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số để tìm GTLN và GTNN của hàm số (hay biểu thức) hai hoặc ba biến, đây là phương pháp thường được áp dụng vào các bài chứng minh bất đẳng thức hay tìm GTLN, GTNN trong các đề thi đại học.

Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số còn gọi là phương pháp dồn biến vì ta sẽ dồn hai hay ba biến thành một để áp dụng phương pháp dành cho hàm một biến.

Xét bài toán sau: tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P\left( {x,y…} \right)$ với một điều kiện nào đó của các biến x, y…. Các bước cơ bản để giải bài toán này bằng phương pháp dồn biến gồm:

Trong những bài toán khó, các bước 1 và 3 sẽ không dễ dàng làm được, ta phải biến đổi linh hoạt, vận dụng nhiều phương pháp khác như bất đẳng thức Cô-Si, Bu-Nhi-a-cốp-ski… Ta hãy xét một số ví dụ sau, từ đơn giản đến phức tạp, để hình dung được phương pháp này.

Ví dụ 1: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn $x + y = \dfrac{5}{4}$. Tìm GTNN của biểu thức $P = \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{4y}}$

Phân tích: Từ điều kiện của hai ẩn x, y ta có thể thấy ngay: nếu ta rút x hoặc y ở điều kiện $x + y = \dfrac{5}{4}$ rồi thế vào biểu thức P thì biểu thức chỉ còn 1 ẩn. Vậy bước 1 đã dễ dàng thực hiện được như sau:

$x + y = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{4} – x \Rightarrow P = \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{5 – 4x}}=f(x)$

Vậy trong bài toán này, ta không cần phải đặt ẩn phụ t vì biểu thức chỉ còn một ẩn x.

Tiếp theo ta sẽ đi tìm miền giá trị của ẩn x, cũng từ điều kiện $x + y = \dfrac{5}{4}$ và x,y là số thực dương, ta suy ra ngay $0 < x < \dfrac{5}{4}$

Vậy bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số $f(x) = \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{5 – 4x}}$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{5}{4}} \right)$. Ta chỉ cần sử dụng phương pháp 1 trong bài giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là có thể tìm được $\min P = \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits}{\rm{in}}}\limits_{\left( {0;\dfrac{5}{4}} \right)} f(x) = 5\,\,khi\,x = 1,\,y = \dfrac{1}{4}$

Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\x + y + xy = 3\end{array} \right.$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $P = \dfrac{x}{{x + 2}} + \dfrac{y}{{y + 2}} + \dfrac{6}{{xy + 1}}$

Phân tích: Điều dễ nhận thấy ở bài này là cả điều kiện của x, y và biểu thức P đều có tính đối xứng với hai biến x và y (vai trò của x và y như nhau). Với dạng này, ta thường biến đổi về dạng tổng x + y và tích x.y rồi đặt t bằng một trong hai.

$P = \dfrac{x}{{x + 2}} + \dfrac{y}{{y + 2}} + \dfrac{6}{{xy + 1}} = \dfrac{{2xy + 2(x + y)}}{{xy + 2(x + y) + 4}} + \dfrac{6}{{xy + 1}}$

Từ điều kiện $x + y + xy = 3 \Rightarrow xy = 3 – \left( {x + y} \right)$

Đặt $t = x + y \Rightarrow xy = 3 – t$

Suy ra $ \Rightarrow P = \dfrac{{2\left( {3 – t} \right) + 2t}}{{3 – t + 2t + 4}} + \dfrac{6}{{3 – t + 1}} = \dfrac{6}{{t + 7}} + \dfrac{6}{{4 – t}}=f(t)$

Tiếp theo ta sẽ tìm điều kiện của t. Ta có:

$x + y + xy \le x + y + {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2}$ (bất đẳng thức Cô-Si)

$ \Leftrightarrow 3 \le t + \dfrac{{{t^2}}}{4} \Leftrightarrow {t^2} + 4t – 12 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le -6\end{array} \right.$

Nhưng vì $x,y \ge 0$ nên $0 \le t \le 3$. Vậy $t \in \left[ {2,3} \right]$.

Vậy bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(t) = \dfrac{6}{{t + 7}} + \dfrac{6}{{4 – t}}$ trên đoạn $\left[ {2,3} \right]$. Các bước tiếp theo dành cho bạn.

Ví dụ 3: Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \dfrac{1}{{2a + b + \sqrt {8bc} }} – \dfrac{8}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}}$

Phân tích: Biểu thức P trong bài khá phức tạp, không có tính đối xứng. Vì vậy đòi hỏi ta phải vận dụng linh hoạt các phép biến đổi, các bất đẳng thức thường gặp để biến đổi biểu thức P.

Ở đây ta thấy $\sqrt {8bc} = 2\sqrt {\left( {2b} \right)c} $, ta nghĩ đến bất đẳng thức Cô-Si vì giả thuyết cho b, c là số dương:

$\sqrt {8bc} = 2\sqrt {b\left( {2c} \right)} \le b + 2c$

Tiếp theo ta có $\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} = \sqrt 2 \sqrt {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} \sqrt {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} $, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bu-Nhi-a-cốp-ski.

$\sqrt {{1^2} + {1^2}} \sqrt {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} \ge 1.b + 1\left( {a + c} \right) = a + b + c$

Tổng hợp lại, ta được:

$P = \dfrac{1}{{2a + b + \sqrt {8bc} }} – \dfrac{8}{{\sqrt {2{b^2} + 2{{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}} \ge \dfrac{1}{{2a + b + b + 2c}} – \dfrac{8}{{\sqrt 2 \sqrt {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} + 3}}$

$ \ge \dfrac{1}{{2\left( {a + b + c} \right)}} – \dfrac{8}{{a + b + c + 3}}$

Đặt t = a + b + c với điều kiện $t \ge 0$

Ta được: $P = \dfrac{1}{{2t}} – \dfrac{8}{{t + 3}} = \dfrac{{ – 15t + 3}}{{2{t^2} + 6t}} = f(t)$

Các bước tiếp theo bạn có thể tự làm. Kết quả ta được $$\min P = – \dfrac{3}{2}$$ khi t = 1.

Chú ý: Khi áp dụng các bất đẳng thức để biến đổi biểu thức, ta cần chú ý điều kiện để dấu “=” xảy ra. Chẳng hạn ở ví dụ 3, ta có:

$2\sqrt {b\left( {2c} \right)} \le b + 2c$, dấu bằng xảy ra khi b = 2c.

$\sqrt {{1^2} + {1^2}} \sqrt {{b^2} + {{\left( {a + c} \right)}^2}} \ge b + a + c$, dấu bằng xảy ra khi b = a + c.

$$\min p = – \dfrac{3}{2}$$ khi t = 1 $ \Leftrightarrow $ a + b + c = 1.

Kết hợp lại ta được $$\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\b = 2c\\b = a + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {a = \dfrac{1}{4},b = \dfrac{1}{2},c = \dfrac{1}{4}} \right.$$

Vậy $${{\mathop{\rm min P}\nolimits} = – \dfrac{3}{2}}$$ khi $${a = \dfrac{1}{4},b = \dfrac{1}{2},c = \dfrac{1}{4}}$$.

Trên đây là 3 ví dụ cơ bản để có thể hình dung được cách áp dụng phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số hay còn gọi là phương pháp dồn biến để tìm GTLN và GTNN cũng như chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên, để có thể vận dụng được phương pháp này vào các bài toán khác, chúng ta cần phải thường xuyên làm bài tập, tiềm hiểu thêm các kiến thức về bất đẳng thức, rèn luyện cách nhìn nhận một bài toán để có thể tìm ra hướng biến đổi tốt nhất.