Xét bài toán: cho hàm số \[y = f\left( {x,m} \right)\]  với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng \[k\].

Phương pháp chúng: ta áp dụng điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu của hàm số:

Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng \[k\] \[ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \ge 0\,\forall x \in k\]

Hàm số \[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trên khoảng \[k\] \[ \Leftrightarrow f’\left( x \right) \le 0\,\forall x \in k\]

Trong định lý trên, \[f’\left( x \right)\] chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên \[k\].

Vì dụ 1. Tìm m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right).$

Ta thấy điều kiện xác định của hàm số là \[x \ne – m\], vì vậy để hàm số xác định trên $\left( {1; + \infty } \right)$ thì \[ – m \le 1\].

Đồng thời để hàm số đồng biến thì ta cần điều kiện \[y’ > 0\] \[ \Leftrightarrow {m^2} – 4 > 0\] (vì với hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\]  đạo hàm không thể bằng 0).

Vậy tóm lại, để hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ thì \[\left\{ \begin{array}{l}
– m \le 1\\
{m^2} – 4 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {2; + \infty } \right).\]

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + mx – 2$ đồng biến trên \[\left( { – \infty ;1} \right)\].

\[y’ = {x^2} – 4x + m\]

Để hàm số đồng biến trên \[\left( { – \infty ;1} \right)\] thì \[y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)\]

Vì hệ số \[a = 1 > 0\] nên \[y’ \ge 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)\] khi và chỉ khi phương trình \[y’ = 0\] vô nghiệm hoặc nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1.

y’=0 vô nghiệm y’=0 nghiệm kép y’=0 có hai nghiệm phân biệt

TH1. Phương trình \[y’ = 0\] vô nghiệm hoặc nghiệm kép

\[ \Leftrightarrow \Delta ‘ \le 0 \Leftrightarrow 4 – m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 4\]

TH2. Phương trình \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1.

\[\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow 4 – m > 0 \Leftrightarrow m < 4\]

Phương trình \[y’ = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = 2 – \sqrt {4 – m} \] và \[{x_2} = 2 + \sqrt {4 – m} \]

Ta cần \[2 – \sqrt {4 – m} \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {4 – m} \le 1 \Rightarrow m \ge 3\]

\[ \Rightarrow m \in \left[ {3;4} \right)\]

Kết hợp hai trường hợp ta được \[m \ge 3\].

Nhận xét: với ví dụ 2, cách giải như trên khá dài, ta có thể sử dụng phương pháp sau để giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng trong trường hợp có thể rút m theo \[x\] trong bất phương trình \[y’ \ge 0\,\] (hay \[y’ \le 0\]) (hay còn gọi là cô lập m).

Ta giải lại ví dụ 2:

\[\begin{array}{l}
y’ = {x^2} – 4x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right)\Leftrightarrow m \ge – {x^2} + 4x\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right) (*)
\end{array}\]

Xét hàm số \[g\left( x \right) = – {x^2} + 4x\], ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta suy ra \[\left( * \right) \Leftrightarrow m \ge – 3\].

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số \[y = – \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\] nghịch biến trên \[\left( {0;3} \right)\].

Hướng dẫn giải

\[\begin{array}{l}
y’ = – {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + \left( {m + 3} \right)\\
y’ \le 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow – {x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x + \left( {m + 3} \right) \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow – {x^2} + 2mx – 2x + m + 3 \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow – {x^2} – 2x + 3 \le m\left( { – 2x – 1} \right)\,\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\
\Leftrightarrow m \le \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{ – 2x – 1}}\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)(*)
\end{array} \]

(vì \[ – 2x – 1 < 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\] nên khi chia hai vế cho \[ – 2x – 1\] ta phải đổi chiều bất phương trình)

Xét hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{ – 2x – 1}}\] ta có bảng biến thiên trên đoạn \[{\left[ {0;3} \right]}\]:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra \[\left( * \right) \Leftrightarrow m \le – 3\].

Tham khảo: 

Để lại nhận xét

%d bloggers like this: