Vị trí tương đối trong không gian: mặt cầu

Trong bài trước ta đã tìm hiểu về vị trí tương đối giữa mặt phẳng, đường thẳng, trong bài này ta sẽ tìm hiểu vị trí tương đối của mặt cầu so với mặt phẳng và đường thẳng.

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu $S\left( {I,R} \right)$ và mặt phẳng $(P)$. Ký hiệu $d$ là khoảng cách từ $I$ đến $(P)$. Ta có:

Trường hợp 1: Nếu $d > R$ thì mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ không có điểm chung.     

Trường hợp 2: Nếu $d = R$ thì mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.

Trường hợp 3: Nếu $d < R$ thì mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là $r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} $.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng $(\alpha ):2x – y + 2z – 7 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha )$ và tiếp xúc với $(S )$.

Giải

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( {1;0; – 2} \right)$, bán kính $R = 3$.

Vì $(P)//(\alpha )$ nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $2x – y + 2z + m = 0,\,\,m \ne – 7$.

Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha )$ nên áp dụng điều kiện tiếp xúc ta có:

$d\left( {I,(P)} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 – 4 + m} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 11\\
m = – 7 (loại)
\end{array} \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $2x – y + 2z + 11 = 0$

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng $(\alpha ): x -2 y + z + 1 = 0$ và điểm $I\left( {2; – 1;1} \right)$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $I$ cắt mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng $4\pi $.

Giải

Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có: $\pi {r^2} = 4\pi \Rightarrow r = 2$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Dễ dàng tính được $d = \sqrt 6 $.

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu (S). Ta có: $R = \sqrt {{r^2} + {d^2}} = \sqrt {10} $.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ${\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 10$.

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu $S\left( {I,R} \right)$ và đường thẳng $\Delta $. Ký hiệu $d$ là khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $. Ta có:

Trường hợp 1: Nếu $d > R$ thì đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $(S)$ không có điểm chung.

Trường hợp 2: Nếu $d = R$ thì đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc.

Trường hợp 3: Nếu $d < R$ thì đường thẳng $\Delta $ và mặt cầu $(S)$ cắt nhau tại hai điểm M, N với $MN = 2\sqrt {{R^2} – {d^2}} $.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+1}{-3}=\dfrac{z-1}{1}.$ Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right),$ biết $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$ và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho $AB=\sqrt{26}.$

A. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=5.$

B. $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=5.$

C. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25.$

D. $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25.$

Giải

Gọi $d$ là khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $, dễ dàng tính được $d=\dfrac{\sqrt{74}}{2}$.

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ thì $R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=5$

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25.$

Ta chọn đáp án D.