Phương trình lượng giác nâng cao lớp 11

Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình đại số – giải tích 11. Trong bài viết trước ta đã tìm hiểu lý thuyết và bài tập phương trình lượng giác cơ bản và một số dạng phương trình lượng giác đơn giản thường gặp. Trong bài này ta sẽ giải một số bài tập nâng cao.

Bài 1. Giải phương trình: $\dfrac{1}{{\sin 2x}} + \dfrac{1}{{\sin 4x}} + …. + \dfrac{1}{{\sin {2^n}x}} = 0$

Hướng dẫn giải

$\dfrac{1}{{\sin 2a}} = \dfrac{{\sin a}}{{\sin a.\sin 2a}} = \dfrac{{\sin \left( {2a – a} \right)}}{{\sin a.\sin 2a}} $$ = \dfrac{{\sin 2a.\cos a – \sin a.\cos 2a}}{{\sin a.\sin 2a}} = \cot a – \cot 2a$

Vậy

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sin 2x}} + \dfrac{1}{{\sin 4x}} + …. + \dfrac{1}{{\sin {2^n}x}} = 0\\
\Leftrightarrow \cot x – \cot 2x + \cot 2x – \cot 4x + …… + \cot {2^{n – 1}}x – \cot {2^n}x = 0\\
\Leftrightarrow \cot x = \cot {2^n}x \Leftrightarrow x = \dfrac{k}{{1 – {2^n}}}\pi \,\,\,\left( {k \in } \right)
\end{array}$

Bài 2. Giải phương trình: $\dfrac{{\sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x – 5\sin x + \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\cos x + 3 + \sqrt 3 }}{{2\cos x + \sqrt 3 }} = 1$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $2\cos x + \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne – \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x – 5\sin x + \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\cos x + 3 + \sqrt 3 }}{{2\cos x + \sqrt 3 }} = 1\\\Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x – \cos 2x – 5\sin x – \sqrt 3 \cos x + 3 = 0\\\Leftrightarrow \sqrt 3 \cos x\left( {2\sin x – 1} \right) + 2{\sin ^2}x – 5\sin x + 2 = 0\\\Leftrightarrow \sqrt 3 \cos x\left( {2\sin x – 1} \right) + \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sin x – 2} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sqrt 3 \cos x + \sin x – 2} \right) = 0\end{array}$

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp.

Bài 3. Giải phương trình: $\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {\tan x + \cot 2x} }} = \sqrt 2 + 2\sin 2x$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\tan x + \cot 2x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \dfrac{{\sin x.\sin 2x + \cos x.\cos 2x}}{{\cos x.\sin 2x}} = \dfrac{1}{{\sin 2x}}$

Vậy: $\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{{\sqrt {\tan x + \cot 2x} }} = \sqrt 2 + 2\sin 2x \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {\sin 2x} = \sqrt 2 + 2\sin 2x$

Đến đây bạn có thể đặt $t = \sqrt {\sin 2x} $ để đưa về phương trình bậc 2.

Một số bài tập phương trình lượng giác nâng cao

Bài 1. Tìm m để phương trình ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x + {\cos ^2}4x = m$ có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]$.

Bài 2. Giải phương trình: $\cos x – \sin x + \dfrac{1}{{\sin x}} – \dfrac{1}{{\cos x}} + \dfrac{2}{3} = 0$

Bài 3. Giải phương trình: $4{\cot ^6}x + 3{\left( {1 – \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^4} = 7$

Bài 4. Giải phương trình: $\sqrt {5\sin x + \cos 2x} + 2\cos x = 0$

Bài 5. Giải phương trình:  $4{\sin ^2}5x – 4{\sin ^2}x + 2\left( {\sin 6x + \sin 4x} \right) + 1 = 0$