Một trong số những dạng toán khó trong các đề thi đại học là bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Tuy nhiên, đối với những hàm số một biến thì việc tìm GTLN và GTNN khá dễ dàng, ta chỉ cần nắm được các phương pháp cơ bản là có thể tìm được. Trong bài viết này, ta sẽ tìm hiểu thế nào là GTLN, GTNN và phương pháp tìm GTLN, GTNN của các hàm số một biến thường gặp.

Xem thêm: [Thủ thuật casio] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

  • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu \[f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in D\] và \[\exists {x_0} \in D\] sao cho \[f\left( {{x_0}} \right) = M\], ký hiệu: \[\mathop {\max }\limits_D y = M\]
  • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu \[f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in D\] và \[\exists {x_0} \in D\] sao cho \[f\left( {{x_0}} \right) = m\], ký hiệu: \[\mathop {\min }\limits_D y = m\]

Ta có thể hiểu rằng: số lớn nhất trong tất cả các giá trị \[f\left( x \right)\] với \[x \in D\] gọi là GTLN và số nhỏ nhất trong tất cả các giá trị \[f\left( x \right)\] với \[x \in D\] gọi là GTNN.

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số. Đây là phương pháp chung cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ta làm theo các bước sau:

  • Tìm tập xác định của hàm số.
  • Tìm y’, cho y’ = 0 giải nghiệm.
  • Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = x – \sqrt {x – 4} \]

Giải

Tập xác đinh: \[D = \left[ {4; + \infty } \right)\]

\[y’ = 1 – \frac{1}{{2\sqrt {x – 4} }}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{{2\sqrt {x – 4} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x – 4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x – 4 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{17}}{4}\]

Bảng biến thiên:

bien thien

Nhận xét: dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[\frac{{15}}{4}\] và không có giá trị lớn nhất vì hàm số tặng lên \[{ + \infty }\].

Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} y = \frac{{15}}{4}\] tại \[x = \frac{{17}}{4}\]

Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Xem thêmTính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a, b]. Ta làm theo các bước sau:

  • Tìm tập xác định của hàm số.
  • Tìm y’
  • Tìm các điểm \[{x_1},{x_2},…{x_n}\] thuộc khoảng (a,b) mà tại đó y’ = 0 hoặc y’ không xác định.
  • Tính các giá trị \[f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)…f\left( {{x_n}} \right)\]
  • Kết luận: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)…f\left( {{x_n}} \right)} \right\}\] và \[\mathop {{\mathop{\rm mim}\nolimits} }\limits_{\left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)…f\left( {{x_n}} \right)} \right\}\].

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  \[f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\] trên đoạn [1,3]. (THPT Quốc gia 2015)

Giải

Tập xác định: \[D = R/{\rm{\{ }}0\}\]

\[f'(x) = 1 – \frac{4}{{{x^2}}} \]

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 – \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left( {1;3} \right)\\x = – 2 \notin \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\]

\[f\left( 1 \right) = 5,f\left( 2 \right) = 4,f\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3}\]

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 5\] tại x = 1, \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 4\] tại x = 2.

Lưu ý: một số bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà không nói trên đoạn nào nhưng nếu tập xác định của hàm số đó là một đoạn thì ta vẫn có thể sử dụng phương pháp 2.

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{1}{2}\left( {x + \sqrt {4 – {x^2}} } \right)\]

Giải

Tập xác định: \[D = \left[ { – 2;2} \right]\]

\[y’ = \frac{{\sqrt {4 – {x^2}} – x}}{{2\sqrt {4 – {x^2}} }}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 – {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 – {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \in \left( { – 2;2} \right)\]

\[y\left( { – 2} \right) = – 1; y\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 ; y\left( 2 \right) = 1.\]

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 ;\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} y = y\left( { – 2} \right) = – 1.\]

Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà học sinh phải nắm vững. Đây là cơ sở nền tảng để có thể làm được các bài toán phức tạp hơn.

Xem thêmBài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

161 thoughts on “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

      1. Giải giúp em bài: tìm GTNN GTLN của hs y=-2x^2+5x+3 trên đoạn 0;2 và đoạn 5/2;4

      2. có thể ns rõ ra cách tìm y’ ko đọc mãi mà ko hiểu cách tìm y’ là j cả . mk cần gấp giúp mk vs

  1. Tìm gtln và gtnn của hs fx=2x+1/x-1 của toạ độ[1,3] làm kiểu gì ạ

    1. Nếu là \[f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{x} – 1\] thì bạn có thể dùng phương pháp 2, còn nếu \[f\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{x – 1}}\] thì dùng phương pháp 1 vì hàm số không xác định tại x = 1.

      1. Cho e hỏi bài này với ạ! Tìm min, max của hàm số y – 9x trên (-2;2)

  2. Cho e hỏi bài này thì làm thế nào ahk: căn bậc hai của 4-x^2 trên đoạn [_1;1]

      1. Thầy cho e hỏi bài này đc k ạ
        Cho tam giác ABC đều cạnh a. Dựng 1hcn MNPQ có cạnh MN nằm trên BC. 2đỉnh P,Q theo thứ tự nằm trên 2 cạnh AB, AC của tam giác. Xác định vị trí M sao cho: diện tích hcn lớn nhất và tìm GTLN đó.
        E cảm ơn thầy trước

  3. Thầy ơi cho em hỏi bài này được không ạ.
    Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x + 1/x trên (0;+vô cùng).

  4. Cho e hỏi là: khi nào thì mình biết dùng pp1 va khi nào thì dùng pp2 ak. E cảm ơn.

  5. Cho em hỏi:tìm gtln và gtnn của hàm số f(x)=x-e^x trên đoạn [-1;2] như thế nào?

    1. Biến đổi \[y = \sin \frac{x}{2} + \cos x = \sin \frac{x}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\]. Đặt \[t = \sin \frac{x}{2}\], với \[t \in \left[ { – 1;1} \right]\]

      1. Cho e hỏi theo công thức cosx=1-2sin²x nhưng sao thầy biến đổi được thành 1-2sin²x/2 vậy ạ

        1. \[\cos 2x = 1 – 2{\sin ^2}x\] còn \[\cos x = 1 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\], cung giảm đi một nữa nhé.

    1. Áp dụng phương pháp 2, y’ có dạng là (u.v)’ và bạn lưu ý là phương trình e^-x = 0 vô nghiệm

    1. Nếu đề bài cho tìm gtln, gtnn trên một đoạn [a,b] hoặc tìm trên TXĐ mà TXĐ là một đoạn thì dùng phương pháp 2 nhé.

  6. Tập xác định vd3 [-2,2] thấy sửa lại để mấy bạn không nhầm ạ.

      1. Cho x, y, z>0 và x+y+1=z. Tìm min P=x/(x+xy)+y/(y+zx)+(z^2+2)/(z+xy)
        Giúp với Thầy ạ

  7. Ví dụ 3 D=[-1;1] tại sao v ạ
    Cho em hỏi hàm nhất biến tìm giá trị nhở nhất làm sao khi y’=0 thì hàm đồng, nghịch biến rồi thì ta lấy 2 điểm nằm ngoài khoãng để xét max min phải không ạ

    1. Là [-2;2], thầy gỏ nhầm. Còn hàm nhất biến thì không có gtnn hay gtln trên tập xác định nhé. Nếu đề bài cho một đoạn thì do phương trình y’=0 vô nghiệm nên bạn chỉ cần tính y tại hai đầu của đoạn là được.

  8. y=(x^2.cosa – 2x + cosa)/(x^2 – 2x.cosa + 1)
    Với a€(0,π)
    Cm -1=< y =<1 làm s v thầy

  9. Cho em hỏi xíu ạ… Như trường hợp tìm GT trên đoạn mà trên đoạn ấy không có giá trị nào để y’=0 thì mình làm thế nào ạ?

  10. thầy ơi, cho em hỏi đối với cái bài đạo hàm ra có mẫu. khi nào mình quy đồng tìm nghiệm, còn khi nào kết luận đồng biến hoặc nghịch biến ạ. em cảm ơn.
    vd: x + lnx trên đoạn [1/2;2]

    1. Nếu như bạn có thể nhận xét được y’ luôn âm hay luôn dương với mọi x thì có thể kết luận luôn, còn không thì phải tìm nghiệm.

  11. Thầy ơi giúp em câu này với tìm GTLN và GTNN của : y=2sin²x+2sinx-1

    1. Bạn đặt t=sinx với t thuộc đoạn [-1;1] rồi dùng phương pháp tìm gtln và gtnn trên đoạn nhé

      1. vd dưới các vd khác thì dưới các chỗ âm và dương vô cùng thì mình thế cái gì để đc nghiệm ạ

        1. Bạn sẽ tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y\] để điền vào nhé

    1. Bạn có thể đặt \[t = \ln x\], với \[x \in \left[ {1;e} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\].

    1. Bạn tìm TXĐ được đoạn [2;4] rồi dùng phương pháp tìm gtnn, gtln trên đoạn là được.

        1. \[y = \cos 2x – 1 = 1 – 2{\sin ^2}x – 1 = – 2{\sin ^2}x\]
          \[x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \sin x \le 1 \Rightarrow – 2 \le – 2\sin 2x \le 0\]
          Hoặc bạn có thể đặt \[t = \sin x\] với \[t \in \left[ {0;1} \right]\] nếu đang học lớp 12

  12. cho em hỏi bài này làm thế nào ạ:
    tìm GTNN của biểu thức F= a^4/b^4 +b^4/a^4 – (a^2/b^2+b^2/a^2) +a/b +b/a
    với a, b khác 0

  13. cho e hỏi chỗ y=0 ý ạ. lúc nào mình lấy hết cả y’ lúc nào mình chỉ lấy tử số ạ

    1. Nếu y’ có dạng phân thức thì \[y’ = 0 \Leftrightarrow \] tử bằng 0 (nhớ chú ý điều kiện mẫu)

  14. thưa thầy, mình có phải bổ sung ” Hàm số liên tục trên D ” hay không ạ?

  15. Thầy ơi cho em hỏi bài này lm tek nào ạ:
    Tìm m để:
    X^2-2*(m+1)x + m<0. ¥x[-1;4]

    1. \[\left\{ \begin{array}{l}a.f( – 1) \ge 0\\a.f(4) \ge 0\\ – 1 < \frac{{ - b}}{{2a}} < 4\end{array} \right.\]

      1. giải giùm em bài này ạ :tìm GTLN GTNN của y= COSx+COS(x+π/3)

  16. thầy ơi giúp em bài này với ạ
    tìm max, min : y=(căn x-căn(1-x)+1) / (2căn x +căn(1-x)+1)
    thanks.

    1. \[y’ = 1 – \sin 2x\]
      \[y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in Z} \right)\]
      \[Do\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\]
      Tới đây bạn chỉ cần tính \[y\left( 0 \right),y\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] rồi kết luận thôi.

  17. Bài này làm sao vậy ????
    a) cos^2 – sinx+3
    b) cos2x+cosx+1
    Tìm GTLN GTNN

    1. Bài a bạn chuyển \[{\cos ^2}x\] thành \[1 – {\sin ^2}x\] rồi đặt \[t = \sin x\] \[t \in \left[ { – 1;1} \right]\], áp dụng phương pháp tìm gtln, gtnn trên đoạn.
      Bài b tương tự \[\cos 2x = 2{\cos ^2}x – 1\].

  18. giải giùm em bài này ạ :tìm GTLN GTNN của y= COSx+COS(x+π/3)

    1. Bạn sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích rồi dùng điều kiện \[ – 1 \le \cos X \le 1\] để tìm nhé

  19. cách giải bài toán trên khoảng không liên tục thì làm như thế nào vậy thây

    1. Bạn sử dụng công thức sin + sin rồi sử dụng điều kiện \[ – 1 \le \sin X \le 1\]

  20. thầy ơi, em học lớp 10 vậy có cách nào giải giá trị lớn nhất,nhỏ nhất ko bằng đạo hàm được ko ạ vì e chưa học

    1. Em có thể tìm gtln, gtnn bằng cách sử dụng bất đẳng thức. Bạn sẽ được học trong chương 4 đại số 10

  21. Em thưa thầy bài này làm ntn ak.
    Y=| 1-2cosx | + | 1 – 2sinx|.người ta hỏi tìm min và max cua y

  22. thầy ơi,nếu tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a;b) thì cách giải thế nào ạ?

  23. Thầy ơi cho em hỏi. Một số bài em thấy: giả sử tìm txd D=[-2;2], xong thì họ thêm câu hàm số liên tục trên đoạn [-2;2] là sao vậy thầy. Nếu mình không có câu này có bị trừ điểm không thầy

    1. Ghi câu này vì chỉ khi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì mới có thể dùng phương pháp xác định gtln, gtnn trên đoạn.

  24. Thầy ơi nếu hàm f(t) thuộc nửa khoảng dạng (a;b] thì chỉ có một điểm đầu mút thì sao ạ

  25. thay cho em hoi voi a
    Y=□((x-m^2+m)/(x+1)) đạt GTNN tren [0; 1] bằng -2 làm sao ạ

  26. thầy ơi giúp e bài này với
    tìm GTNN của hàm số y= 4/x + 9/(1-x) với 0<x<41

  27. Thầy ơi giải hộ em bài này với ạ
    Giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= 2×|cos|-3

  28. Giá trị lớn nhất của hàm sốy= x2-x+1/x2+x+1 giải như thế nào vậy ạ ?thanks

  29. Giải giúp em bài: tìm GTNN GTLN của hs y=-2x^2+5x+3 trên đoạn 0;2 và đoạn 5/2;4

  30. Thầy ơi cho e hỏi ạ 🙂 khi đạo hàm thì min max của hs không thay đổi ạ >>><<<<

  31. thầy ơi tìm GTLN,GTNN của hàm f(x)=căn(1+x) + căn(5-x) thế nào ạ. e học lớp 10 chưa học đạo hàm ạ

  32. Thầy ơi thầy có thể hướng dẫn em câu này được ko ạ
    Tìm max,min của sinx.siny biết x+y=π và x,y lớn hơn hoặc bằng 0 ?

  33. Thầy ơi cho em hỏi :Tìm Max,Min của hs y=l x^2-2x-5 l trên đoạn [0;4]

  34. thầy ơi em chưa đc hok đạo hàm , nếu đc thầy chỉ qua cho em vs , con không thầy chỉ cho em cách tim min của A = cb2(x^2+x+1)+cb2(x^2-x+1)

  35. thầy ơi cho em hỏi GTLN và GTNN của hàm số y=(x²-2x+1)e^x tính thế nào ạ?

    1. Bạn vẫn áp dụng phương pháp thông thường thôi. Tính đạo hàm rồi lập bảng biến thiến, nếu bài toán cho đoạn thì áp dụng trên đoạn

      1. Thầy ơi lớp 10 mà tìm GTNN y = x +2/x thì làm thế nào thầy? Mai e thi rồi

  36. phương pháp như lz ? viết thì đơn giản hóa hộ cái ? viết thế ma hiểu à ? làm phức tạp lên kiểu mình giỏi vl, cách giải thì đ hiểu ntn luôn
    “Tìm y'” ???

Để lại nhận xét

%d bloggers like this: